LaTeX und das doppelte Komplement

Okayokay. Werden wir mal etwas wissenschaftlich. Yay, Wissenschaft!
Nein, nicht wirklich.
Also. Wie ihr wisst, bin ich indessen endlich Student und so. Und da muss man auch Übungsaufgaben machen. In manchen Kursen sollen wir die Lösungen als PDF per elektronischer Post einreichen und da wir es immer wieder auch mit mathematischen Formeln zu tun haben, sind wir zur brauchbaren Darstellung mehr oder weniger auf \LaTeX angewiesen. Wer \LaTeX nicht kennt: Dabei handelt es sich [irgendwie] um eine skriptgesteuerte Dokumentengenerierung, wer mehr wissen will, darf gerne googeln.
Jedenfalls hab ich gelesen, dass man \LaTeX-Formeln auch in WordPress-Artikel einbauen kann, und da musste ich das natürlich gleich ausprobieren und darum gibt es nun diesen Beitrag hier.

Wie der Titel schon ankündigt, geht es hier um das doppelte Komplement, oder um präziser zu sein, den Beweis der Gültigkeit desselben innerhalb boolescher Algebren. Zur Erinnerung: Bei booleschen Algebren haben wir es mit Wahrheitswerten zu tun, also mit „wahr“ und „falsch“ beziehungsweise 0 und 1, sowie der Herumrechnerei mit diesen Dingern. Aber kommen wir zur Sache!

Gegeben sind folgende Axiome für boolesche Algebren (sprich, diese Aussagen werden einfach als gültig festgelegt):

(1) Kommutativität
x \wedge y = y \wedge x
x \vee y = y \vee x
(2) Assoziativität
x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z
x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z
(3) Absorption
x \wedge (x \vee y) = x
x \vee (x \wedge y) = x
(4) Distributivität
x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)
x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)
(5) Komplementregel
x \wedge (y \vee \neg y) = x
x \vee (y \wedge \neg y) = x

Zu zeigen ist, dass gilt: \neg\neg x = x für x \in \{0,1\}
Beweis:
\begin{array}{rcl}  \neg\neg x & \stackrel{(5)}{=} & \neg\neg x \wedge (x \vee \neg x)\\  & \stackrel{(4)}{=} & (\neg\neg x \wedge x) \vee (\neg\neg x \wedge \neg x)\\  & \stackrel{(1,5)}{=} & (\neg\neg x \wedge x)\\  & \stackrel{(5)}{=} & (\neg\neg x \wedge x) \vee (x \wedge \neg x)\\  & \stackrel{(4)}{=} & ((\neg\neg x \wedge x) \vee x) \wedge ((\neg\neg x \wedge x) \vee \neg x)\\  & \stackrel{(1,3)}{=} & x \wedge ((\neg\neg x \wedge x) \vee \neg x)\\  & \stackrel{(4)}{=} & x \wedge ((\neg\neg x \vee \neg x) \wedge (x \vee \neg x))\\  & \stackrel{(1,5)}{=} & x \wedge (x \vee \neg x)\\  & \stackrel{(3)}{=} & x  \end{array}
q.e.d.

Noch Fragen? Nein? Wunderbar! ;)

Liebe Grüße vom Keks!

Werbeanzeigen

8 Responses to “LaTeX und das doppelte Komplement”


  1. 1 LordPrevious 1. November 2011 um 19:12

    Liebe Grüße an die TI-Studenten der Uni Freiburg, die den heutigen Feiertag nutzen, um ihre Aufgaben zu machen.
    Ja, ich kann das aus den Statistiken ablesen. ;)

  2. 2 anonymous 2. November 2011 um 19:02

    Hmm, wie kommt man denn auf so eine Lösung?

    BTW: In der zweiten Zeile benutzt du die Distributivität (4) und nicht die Komplementregel (5).

    • 3 LordPrevious 2. November 2011 um 20:17

      Whoops – Tja, das ist der Nachteil an \LaTeX – man verliert manchmal etwas den Überblick! Hab mich beim Umbenennen der Indizes vertippt!

      Wie man darauf kommt… sagen wir so, ich habe gut drei oder vier Seiten lang herumprobiert und verschiedene Ansätze verfolgt, bis einer endlich geklappt hat ;)
      Man muss gut überlegen, was man mit den gegebenen Axiomen machen kann und immer wieder versuchen, durch die Umformungen näher ans Ziel zu gelangen – auch wenn es manchmal so ausschaut, als würde man sich entfernen.

  3. 4 Matze 8. November 2012 um 21:15

    Morgen um 17:00 Uhr ist Abgabetermin des TI-Übungsblattes, dann hast du wieder Ruhe auf deiner Seite ;-)

  4. 6 TI Freiburg 2. November 2013 um 15:14

    Hrhr, danke ;)

  5. 8 NickBanking 27. Oktober 2017 um 12:46

    Der Beitrag ist zwar schon 6 Jahre her, aber kannst du villeicht den Schritt (1,3) genauer erklären, ich verstehe nicht, was genau du da machst.


Schreibe eine Antwort zu anonymous Antwort abbrechen

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden /  Ändern )

Google Foto

Du kommentierst mit Deinem Google-Konto. Abmelden /  Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden /  Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden /  Ändern )

Verbinde mit %s




3DS Freundescode:
4296-3026-2360

Animal Crossing Dream Town:
6900-2577-2626
Werbeanzeigen